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Escola Bíblica Discipuladora - 4º Trimestre 2018 - Lição Nr 11

Canal Luisa Criativa

sexta-feira, 23 de novembro de 2018

Propriedades dos Logaritmos

Propriedades dos Logaritmos

As propriedades dos logaritmos são propriedades operatórias que simplificam os cálculos dos logaritmos, principalmente quando as bases não são iguais.
Definimos logaritmo como sendo o expoente que se deve elevar uma base, de modo que o resultado seja uma determinada potência. Isto é:
logb = x ⇔ ax = b, com a e b positivos e a ≠ 1
Sendo,
a: base do logaritmo

b: logaritmando

c: logaritmo

Observação: quando não aparece a base de um logaritmo consideramos que seu valor é igual a 10.

Propriedades Operatórias

Logaritmo de um produto

Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.
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Exemplo

Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine o valor do log 60.
Solução
Podemos escrever o número 60 como um produto de 2.3.10. Neste caso, podemos aplicar a propriedade para esse produto:
log 60 = log (2.3.10)
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:
log 60 = log 2 + log 3 + log 10
As bases são iguais a 10 e o log10 10 = 1. Substituindo esses valores, temos:
log 60 = 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78

Logaritmo de um quociente

Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.
log com a subscrito parêntese esquerdo b sobre c parêntese direito igual a log com a subscrito b menos log com a subscrito c

Exemplo

Considerando log 5 = 0,70, determine o valor do log 0,5.
Solução
Podemos escrever 0,5 como sendo 5 dividido por 10, neste caso, podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente.
log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço parêntese esquerdo 5 sobre 10 parêntese direito log espaço 0 vírgula 5 igual a log espaço 5 espaço menos log espaço 10 log espaço 0 vírgula 5 igual a 0 vírgula 7 espaço menos espaço 1 log espaço 0 vírgula 5 espaço igual a menos 0 vírgula 3

Logaritmo de uma potência

Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
log com a subscrito b à potência de c igual a c. log com a subscrito b

Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz, pois, podemos escrever uma raiz na forma de expoente fracionário. Assim:

log com a subscrito espaço x enésima raiz de b igual a log com a subscrito b à potência de 1 sobre x fim do exponencial igual a 1 sobre x log com a subscrito b

Exemplo

Considerando log 3 = 0,48, determine o valor do log 81.
Solução
Podemos escrever o número 81 como sendo 34. Neste caso, vamos aplicar a propriedade do logaritmo de uma potência, ou seja:
log 81 = log 34

log 81 = 4 . log 3

log 81 = 4 . 0,48

log 81 = 1,92

Mudança de base

Para aplicar as propriedades anteriores é necessário que todos os logaritmos da expressão estejam na mesma base. Do caso contrário, será necessário transformar todos para uma mesma base.
A mudança de base também é muito útil quando precisamos usar a calculadora para encontrar o valor de um logaritmo que está em uma base diferente de 10 e de e (base neperiana).
A mudança de base é feita aplicando-se a seguinte relação:
log com a subscrito b igual a numerador log com c subscrito b sobre denominador log com c subscrito a fim da fração
Uma aplicação importante dessa propriedade é que o logab é igual ao inverso do logba, ou seja:
log com a subscrito b igual a numerador 1 sobre denominador log com b subscrito a fim da fração

Exemplo

Escreva o log3 7 na base 10.
Solução
Vamos aplicar a relação para mudar o logaritmo para a base 10:
log com 3 subscrito 7 igual a numerador log espaço 7 sobre denominador log espaço 3 fim da fração

Exercícios Resolvidos e Comentados

1) UFRGS - 2014
Atribuindo para log 2 o valor 0,3 , então os valores de log 0,2 e log 20 são, respectivamente,
a) - 0,7 e 3 .

b) - 0,7 e 1,3.

c) 0,3 e 1,3.

d) 0,7 e 2,3 .

e) 0,7 e 3 .


Podemos escrever 0,2 como 2 dividido por 10 e 20 como 2 multiplicado por 10. Assim, poderemos aplicar as propriedades dos logaritmos de um produto e de um quociente:
log espaço 0 vírgula 2 espaço igual a espaço log espaço parêntese esquerdo 2 sobre 10 parêntese direito log espaço 0 vírgula 2 igual a log espaço 2 menos log espaço 10 log espaço 0 vírgula 2 igual a 0 vírgula 3 menos 1 log espaço 0 vírgula 2 igual a menos 0 vírgula 7  log espaço 20 igual a log espaço parêntese esquerdo 2.10 parêntese direito log espaço 20 igual a log espaço 2 mais log espaço 10 log espaço 20 igual a 0 vírgula 3 mais 1 log espaço 20 igual a 1 vírgula 3
alternativa: b) - 0,7 e 1,3

2) UERJ - 2011
Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.

Admita um filtro que deixe passar 4/5 da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:
a) 9

b) 10

c) 11

d) 12


Como cada filtro deixa passa 4/5 de luz, então a quantidade de luz que n filtros deixará passar será dado por (4/5)n.
Como o objetivo é reduzir a quantidade de luz em menos de 10% (10/100) , podemos representar a situação pela inequação:
abre parênteses 4 sobre 5 fecha parênteses à potência de n menor que 10 sobre 100
Como a incógnita está no expoente, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados da inequação e aplicar as propriedades dos logaritmos:
log espaço parêntese esquerdo 4 sobre 5 parêntese direito à potência de n menor que log espaço parêntese esquerdo 10 sobre 10 ao quadrado parêntese direito n. parêntese esquerdo log espaço 4 espaço menos espaço log espaço 5 parêntese direito espaço menor que espaço log espaço 10 espaço menos espaço 2. log espaço 10 V a m o s espaço s u b s t i t u i r espaço 4 espaço p o r espaço 2.2 espaço e espaço 5 espaço p o r espaço 10 sobre 2 n. espaço parêntese esquerdo log espaço 2.2 espaço menos espaço log espaço parêntese esquerdo 10 sobre 2 parêntese direito parêntese direito menor que 1 menos 2 n. parêntese esquerdo log espaço 2 mais log espaço 2 espaço menos log espaço 10 mais log espaço 2 parêntese direito menor que menos 1 n. espaço parêntese esquerdo 0 vírgula 301 mais 0 vírgula 301 menos 1 mais 0 vírgula 301 parêntese direito menor que menos 1 menos 0 vírgula 097. n menor que menos 1 espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo m u l t i p l i c a menos s e espaço p o r espaço menos 1 parêntese direito 0 vírgula 097. n maior que 1 n maior que numerador 1 sobre denominador 0 vírgula 097 fim da fração n maior que 10 vírgula 3
Portanto, n deverá ser maior que 10,3.
Alternativa: c) 11
Para saber mais, veja também:

Fonte de referência,estudos e pesquisa: https://www.todamateria.com.br/propriedades-dos-logaritmos/

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