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Propriedades dos Logaritmos
Fonte de referência,estudos e pesquisa: https://www.todamateria.com.br/propriedades-dos-logaritmos/
As propriedades dos logaritmos são propriedades operatórias que simplificam os cálculos dos logaritmos, principalmente quando as bases não são iguais.
Definimos logaritmo como sendo o expoente que se deve elevar uma base, de modo que o resultado seja uma determinada potência. Isto é:
loga b = x ⇔ ax = b, com a e b positivos e a ≠ 1
Sendo,
a: base do logaritmo
b: logaritmando
c: logaritmo
Observação: quando não aparece a base de um logaritmo consideramos que seu valor é igual a 10.
Propriedades Operatórias
Logaritmo de um produto
Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.
Exemplo
Considerando log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, determine o valor do log 60.
Solução
Podemos escrever o número 60 como um produto de 2.3.10. Neste caso, podemos aplicar a propriedade para esse produto:
log 60 = log (2.3.10)
Aplicando a propriedade do logaritmo de um produto:
log 60 = log 2 + log 3 + log 10
As bases são iguais a 10 e o log10 10 = 1. Substituindo esses valores, temos:
log 60 = 0,3 + 0,48 + 1 = 1,78
Logaritmo de um quociente
Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.
Exemplo
Considerando log 5 = 0,70, determine o valor do log 0,5.
Solução
Podemos escrever 0,5 como sendo 5 dividido por 10, neste caso, podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente.
Logaritmo de uma potência
Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz, pois, podemos escrever uma raiz na forma de expoente fracionário. Assim:
Exemplo
Considerando log 3 = 0,48, determine o valor do log 81.
Solução
Podemos escrever o número 81 como sendo 34. Neste caso, vamos aplicar a propriedade do logaritmo de uma potência, ou seja:
log 81 = log 34
log 81 = 4 . log 3
log 81 = 4 . 0,48
log 81 = 1,92
Mudança de base
Para aplicar as propriedades anteriores é necessário que todos os logaritmos da expressão estejam na mesma base. Do caso contrário, será necessário transformar todos para uma mesma base.
A mudança de base também é muito útil quando precisamos usar a calculadora para encontrar o valor de um logaritmo que está em uma base diferente de 10 e de e (base neperiana).
A mudança de base é feita aplicando-se a seguinte relação:
Uma aplicação importante dessa propriedade é que o logab é igual ao inverso do logba, ou seja:
Exemplo
Escreva o log3 7 na base 10.
Solução
Vamos aplicar a relação para mudar o logaritmo para a base 10:
Exercícios Resolvidos e Comentados
1) UFRGS - 2014
Atribuindo para log 2 o valor 0,3 , então os valores de log 0,2 e log 20 são, respectivamente,
a) - 0,7 e 3 .
b) - 0,7 e 1,3.
c) 0,3 e 1,3.
d) 0,7 e 2,3 .
e) 0,7 e 3 .
2) UERJ - 2011
Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.
Admita um filtro que deixe passar 4/5 da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros.
Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
Para saber mais, veja também:
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