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terça-feira, 23 de junho de 2020

Quantas faces tem uma fita de Möbius?

Quantas faces tem uma fita de Möbius?








Uma fita de Moebios ou faixa de Moebios é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta em uma delas.[1] Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.[2] Möbius estudou este objeto tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a teoria geométrica dos poliedrosJohann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias esteja ligada a este matemático.
A importância do estudo deste objeto, na época, prendia-se à noção de orientabilidade, que não era ainda bem compreendida. Möbius introduziu também a noção de triangulação no estudo de objetos geométricos do ponto de vista topológico.
Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num artigo intitulado Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders.

Propriedades

Ficheiro:Moebiusband wikipedia animation.ogv

A fita de Möbius tem várias propriedades interessantes. Uma linha traçada a partir da costura para o meio encontra-se de volta na costura, mas do outro lado. Se continuar a linha, chega-se ao ponto de partida, e é o dobro do comprimento da fita original. Esta única curva contínua demonstra que a fita de Möbius só tem um limite.
Cortando uma fita de Möbius ao longo da linha de centro, com um par de tesouras, produz uma longa fita com duas reviravoltas, em vez de duas fitas; o resultado não é uma fita de Möbius. Isso acontece porque a fita original só tem uma borda que é duas vezes mais longa que o fita original. Cortando uma segunda independente da borda, metade do que foi em cada lado da tesoura. Corte esta nova, longa fita ao meio criando duas fitas em torno de si, cada um com duas voltas.
Se a fita é cortada ao longo de um terço do caminho da borda, ela cria duas fitas: Uma é uma fita de Möbius – é o centro de terceiros original da fita, composta de 1/3 da largura e comprimento igual ao comprimento da fita original. O outro é uma longa, mas fita com duas reviravoltas no – lo-esta é uma vizinha da borda da fita original, e é composto de 1/3 da largura e o dobro do comprimento da fita original.
Outras análogas fitas podem ser obtidas da mesma forma se juntar fitas com dois ou mais meia-voltas, em vez de uma. Por exemplo, uma fita com três meias-voltas, quando dividida longitudinalmente, torna-se um trançado de fitas amarradas em um trevo de nó. (Se este nó é consolidado, a fita tem oito meia-voltas.) Uma fita com N de meia-voltas, quando cortada, torna-se uma fita com N + 1 cheio de reviravoltas. Dando extra reviravoltas e reconectando as pontas, produz figuras chamadas anéis paradrômicos.
A fita de Möbius:
  • É uma superfície com uma componente de fronteira;
  • Não é orientável.
  • Possui apenas um lado.[1]
  • Possui apenas uma borda.[1]
  • Representa um caminho sem fim nem início, infinito, onde se pode percorrer toda a superfície da fita que aparenta ter dois lados, mas só tem um.

Geometria e topologia

Uma maneira de representar a fita de Möbius como um subconjunto do espaço Euclidiano tridimensional é usando a parametrização:
onde 0 < u < 2π e −1 < v < 1. Isso cria uma fita de Möbius de largura 1, cujo círculo central tem raio 1, encontra-se no plano xy e é centrada em (0, 0, 0) .O parâmetro u roda em torno da fita enquanto v se move de um lado para o outro.
Em coordenadas polares cilíndricas, uma versão ilimitada da fita de Möbius strip pode ser representada pela equação:


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