Quantas faces tem uma fita de Möbius?

Quantas faces tem uma fita de Möbius?

Uma fita de Moebios ou faixa de Moebios é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta em uma delas.^[1] Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.^[2] Möbius estudou este objeto tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a teoria geométrica dos poliedros. Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias esteja ligada a este matemático.

A importância do estudo deste objeto, na época, prendia-se à noção de orientabilidade, que não era ainda bem compreendida. Möbius introduziu também a noção de triangulação no estudo de objetos geométricos do ponto de vista topológico.

Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num artigo intitulado Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders.

Propriedades

A fita de Möbius tem várias propriedades interessantes. Uma linha traçada a partir da costura para o meio encontra-se de volta na costura, mas do outro lado. Se continuar a linha, chega-se ao ponto de partida, e é o dobro do comprimento da fita original. Esta única curva contínua demonstra que a fita de Möbius só tem um limite.

Cortando uma fita de Möbius ao longo da linha de centro, com um par de tesouras, produz uma longa fita com duas reviravoltas, em vez de duas fitas; o resultado não é uma fita de Möbius. Isso acontece porque a fita original só tem uma borda que é duas vezes mais longa que o fita original. Cortando uma segunda independente da borda, metade do que foi em cada lado da tesoura. Corte esta nova, longa fita ao meio criando duas fitas em torno de si, cada um com duas voltas.

Se a fita é cortada ao longo de um terço do caminho da borda, ela cria duas fitas: Uma é uma fita de Möbius – é o centro de terceiros original da fita, composta de 1/3 da largura e comprimento igual ao comprimento da fita original. O outro é uma longa, mas fita com duas reviravoltas no – lo-esta é uma vizinha da borda da fita original, e é composto de 1/3 da largura e o dobro do comprimento da fita original.

Outras análogas fitas podem ser obtidas da mesma forma se juntar fitas com dois ou mais meia-voltas, em vez de uma. Por exemplo, uma fita com três meias-voltas, quando dividida longitudinalmente, torna-se um trançado de fitas amarradas em um trevo de nó. (Se este nó é consolidado, a fita tem oito meia-voltas.) Uma fita com N de meia-voltas, quando cortada, torna-se uma fita com N + 1 cheio de reviravoltas. Dando extra reviravoltas e reconectando as pontas, produz figuras chamadas anéis paradrômicos.

A fita de Möbius:

• É uma superfície com uma componente de fronteira;
• Não é orientável.
• Possui apenas um lado.^[1]
• Possui apenas uma borda.^[1]
• Representa um caminho sem fim nem início, infinito, onde se pode percorrer toda a superfície da fita que aparenta ter dois lados, mas só tem um.

Geometria e topologia

Uma maneira de representar a fita de Möbius como um subconjunto do espaço Euclidiano tridimensional é usando a parametrização:

${\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u}$

${\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u}$

${\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}}$

onde 0 < u < 2π e −1 < v < 1. Isso cria uma fita de Möbius de largura 1, cujo círculo central tem raio 1, encontra-se no plano xy e é centrada em (0, 0, 0) .O parâmetro u roda em torno da fita enquanto v se move de um lado para o outro.

Em coordenadas polares cilíndricas, uma versão ilimitada da fita de Möbius strip pode ser representada pela equação:

${\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).}$

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A Guerra Fria - Continuação

A Guerra Fria - Continuação

A Gestação da Guerra Fria

"A Guerra Fria foi um período em que a guerra era improvável, e a paz, impossível."

Com essa frase, o pensador Raymond Aron definiu o período em que a opinião pública mundial acompanhou o conturbado relacionamento entre os EUA e a URSS. O termo “Guerra Fria” deve-se ao fato de nunca ter ocorrido um enfrentamento bélico direto entre as duas Superpotências, o qual poderia acabar culminando na utilização dos arsenais nucleares e na consequente destruição massiva do planeta.

A Guerra Fria substituiu o jogo da hegemonia coletiva da Europa sobre as relações internacionais. Há muitas teorias sobre em que momento a ordem internacional da Guerra Fria foi gestada. Alguns defendem ter sido na Revolução Bolchevique e no cerceamento internacional da Rússia nos primeiros anos da Revolução, outros no “cordão sanitário” do Entre-Guerras, e há os que defendem ter sido gerada nos anos finais da II Guerra Mundial. O fato é que, após a liberação recente dos documentos, arquivos e memórias antes proibidos para pesquisas, os fatos que cercam a Guerra Fria passaram a ganhar novas interpretações, reforçando a tese da sua gestação ao final da II Guerra Mundial e como obra do erro estratégico dos aliados com relação ao flanco oriental a partir de 1943 e da rejeição da URSS à ajuda do Plano Marshall, promovido pelos EUA.

O Realismo nas relações internacionais parece ter tido mais influência na política soviética do que a ideologia propriamente dita. Stalin, com seus mais de 20 milhões de mortos na guerra, ensaiava a reconstrução do país com base nas reparações de guerra e na política de zona de ocupação. As ações do líder soviético acabaram por confundir os formuladores da política externa dos EUA, que associaram os movimentos de Moscou à ótica de um projeto expansionista. A assistência norte-americana para a reconstrução soviética, acertada na conferência de Teerã de 1943, nunca aconteceu. O bloqueio de Berlim, em 1948, que marcou o início da tensão, foi feito por Stalin ao perceber o desenvolvimento da doutrina antissoviética por parte dos EUA, a Doutrina Truman, que pregava a necessidade de contenção da URSS e do expansionismo dos regimes comunistas a qualquer custo. Em resposta à Doutrina Truman, os soviéticos desenvolveram a Doutrina Idanov, que percebia a URSS como um baluarte do Estado proletário sob constante ameaça das Potências imperialistas e que não deveria poupar esforços para defender-se, sendo o maior deles a expansão do comunismo pelo mundo.

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João Capítulo 8

João Capítulo 8

¹ Jesus, porém, foi para o Monte das Oliveiras.

² E pela manhã cedo tornou para o templo, e todo o povo vinha ter com ele, e, assentando-se, os ensinava.

³ E os escribas e fariseus trouxeram-lhe uma mulher apanhada em adultério;

⁴ E, pondo-a no meio, disseram-lhe: Mestre, esta mulher foi apanhada, no próprio ato, adulterando.

⁵ E na lei nos mandou Moisés que as tais sejam apedrejadas. Tu, pois, que dizes?

⁶ Isto diziam eles, tentando-o, para que tivessem de que o acusar. Mas Jesus, inclinando-se, escrevia com o dedo na terra.

⁷ E, como insistissem, perguntando-lhe, endireitou-se, e disse-lhes: Aquele que de entre vós está sem pecado seja o primeiro que atire pedra contra ela.

⁸ E, tornando a inclinar-se, escrevia na terra.

⁹ Quando ouviram isto, redargüidos da consciência, saíram um a um, a começar pelos mais velhos até aos últimos; ficou só Jesus e a mulher que estava no meio.

¹⁰ E, endireitando-se Jesus, e não vendo ninguém mais do que a mulher, disse-lhe: Mulher, onde estão aqueles teus acusadores? Ninguém te condenou?

¹¹ E ela disse: Ninguém, Senhor. E disse-lhe Jesus: Nem eu também te condeno; vai-te, e não peques mais.

¹² Falou-lhes, pois, Jesus outra vez, dizendo: Eu sou a luz do mundo; quem me segue não andará em trevas, mas terá a luz da vida.

¹³ Disseram-lhe, pois, os fariseus: Tu testificas de ti mesmo; o teu testemunho não é verdadeiro.

¹⁴ Respondeu Jesus, e disse-lhes: Ainda que eu testifico de mim mesmo, o meu testemunho é verdadeiro, porque sei de onde vim, e para onde vou; mas vós não sabeis de onde venho, nem para onde vou.

¹⁵ Vós julgais segundo a carne; eu a ninguém julgo.

¹⁶ E, se na verdade julgo, o meu juízo é verdadeiro, porque não sou eu só, mas eu e o Pai que me enviou.

¹⁷ E na vossa lei está também escrito que o testemunho de dois homens é verdadeiro.

¹⁸ Eu sou o que testifico de mim mesmo, e de mim testifica também o Pai que me enviou.

¹⁹ Disseram-lhe, pois: Onde está teu Pai? Jesus respondeu: Não me conheceis a mim, nem a meu Pai; se vós me conhecêsseis a mim, também conheceríeis a meu Pai.

²⁰ Estas palavras disse Jesus no lugar do tesouro, ensinando no templo, e ninguém o prendeu, porque ainda não era chegada a sua hora.

²¹ Disse-lhes, pois, Jesus outra vez: Eu retiro-me, e buscar-me-eis, e morrereis no vosso pecado. Para onde eu vou, não podeis vós vir.

²² Diziam, pois, os judeus: Porventura quererá matar-se a si mesmo, pois diz: Para onde eu vou não podeis vir?

²³ E dizia-lhes: Vós sois de baixo, eu sou de cima; vós sois deste mundo, eu não sou deste mundo.

²⁴ Por isso vos disse que morrereis em vossos pecados, porque se não crerdes que eu sou, morrereis em vossos pecados.

²⁵ Disseram-lhe, pois: Quem és tu? Jesus lhes disse: Isso mesmo que já desde o princípio vos disse.

²⁶ Muito tenho que dizer e julgar de vós, mas aquele que me enviou é verdadeiro; e o que dele tenho ouvido, isso falo ao mundo.

²⁷ Mas não entenderam que ele lhes falava do Pai.

²⁸ Disse-lhes, pois, Jesus: Quando levantardes o Filho do homem, então conhecereis que EU SOU, e que nada faço por mim mesmo; mas isto falo como meu Pai me ensinou.

²⁹ E aquele que me enviou está comigo. O Pai não me tem deixado só, porque eu faço sempre o que lhe agrada.

³⁰ Dizendo ele estas coisas, muitos creram nele.

³¹ Jesus dizia, pois, aos judeus que criam nele: Se vós permanecerdes na minha palavra, verdadeiramente sereis meus discípulos;

³² E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertará.

³³ Responderam-lhe: Somos descendência de Abraão, e nunca servimos a ninguém; como dizes tu: Sereis livres?

³⁴ Respondeu-lhes Jesus: Em verdade, em verdade vos digo que todo aquele que comete pecado é servo do pecado.

³⁵ Ora o servo não fica para sempre em casa; o Filho fica para sempre.

³⁶ Se, pois, o Filho vos libertar, verdadeiramente sereis livres.

³⁷ Bem sei que sois descendência de Abraão; contudo, procurais matar-me, porque a minha palavra não entra em vós.

³⁸ Eu falo do que vi junto de meu Pai, e vós fazeis o que também vistes junto de vosso pai.

³⁹ Responderam, e disseram-lhe: Nosso pai é Abraão. Jesus disse-lhes: Se fôsseis filhos de Abraão, faríeis as obras de Abraão.

⁴⁰ Mas agora procurais matar-me, a mim, homem que vos tem dito a verdade que de Deus tem ouvido; Abraão não fez isto.

⁴¹ Vós fazeis as obras de vosso pai. Disseram-lhe, pois: Nós não somos nascidos de fornicação; temos um Pai, que é Deus.

⁴² Disse-lhes, pois, Jesus: Se Deus fosse o vosso Pai, certamente me amaríeis, pois que eu saí, e vim de Deus; não vim de mim mesmo, mas ele me enviou.

⁴³ Por que não entendeis a minha linguagem? Por não poderdes ouvir a minha palavra.

⁴⁴ Vós tendes por pai ao diabo, e quereis satisfazer os desejos de vosso pai. Ele foi homicida desde o princípio, e não se firmou na verdade, porque não há verdade nele. Quando ele profere mentira, fala do que lhe é próprio, porque é mentiroso, e pai da mentira.

⁴⁵ Mas, porque vos digo a verdade, não me credes.

⁴⁶ Quem dentre vós me convence de pecado? E se vos digo a verdade, por que não credes?

⁴⁷ Quem é de Deus escuta as palavras de Deus; por isso vós não as escutais, porque não sois de Deus.

⁴⁸ Responderam, pois, os judeus, e disseram-lhe: Não dizemos nós bem que és samaritano, e que tens demônio?

⁴⁹ Jesus respondeu: Eu não tenho demônio, antes honro a meu Pai, e vós me desonrais.

⁵⁰ Eu não busco a minha glória; há quem a busque, e julgue.

⁵¹ Em verdade, em verdade vos digo que, se alguém guardar a minha palavra, nunca verá a morte.

⁵² Disseram-lhe, pois, os judeus: Agora conhecemos que tens demônio. Morreu Abraão e os profetas; e tu dizes: Se alguém guardar a minha palavra, nunca provará a morte.

⁵³ És tu maior do que o nosso pai Abraão, que morreu? E também os profetas morreram. Quem te fazes tu ser?

⁵⁴ Jesus respondeu: Se eu me glorifico a mim mesmo, a minha glória não é nada; quem me glorifica é meu Pai, o qual dizeis que é vosso Deus.

⁵⁵ E vós não o conheceis, mas eu conheço-o. E, se disser que o não conheço, serei mentiroso como vós; mas conheço-o e guardo a sua palavra.

⁵⁶ Abraão, vosso pai, exultou por ver o meu dia, e viu-o, e alegrou-se.

⁵⁷ Disseram-lhe, pois, os judeus: Ainda não tens cinqüenta anos, e viste Abraão?

⁵⁸ Disse-lhes Jesus: Em verdade, em verdade vos digo que antes que Abraão existisse, eu sou.

⁵⁹ Então pegaram em pedras para lhe atirarem; mas Jesus ocultou-se, e saiu do templo, passando pelo meio deles, e assim se retirou.

< João 7CapítulosJoão 9 >

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